Lutasin ang {l}{y=x-7}{y=-2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 7 } \\ { y = - 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=-1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-x=-7$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=x-7$$

I-substitute ang x-7 para sa y sa kabilang equation na y+2x=-1.

$$x-7+2x=-1$$

Idagdag ang x sa 2x.

$$3x-7=-1$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=x-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2-7$$

Idagdag ang -7 sa 2.

$$y=-5$$

Nalutas na ang system.

$$y=-5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=-1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=-1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

I-subtract ang y+2x=-1 mula sa y-x=-7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-x-2x=-7+1$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x-2x=-7+1$$

Idagdag ang -x sa -2x.

$$-3x=-7+1$$

Idagdag ang -7 sa 1.

$$-3x=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y+2x=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+2\times 2=-1$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$y+4=-1$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-5$$

Nalutas na ang system.

$$y=-5,x=2$$