Lutasin ang {l}{y=9x+6}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$y-9x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-9x=6$$

Idagdag ang 9x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=9x+6$$

I-substitute ang 9x+6 para sa y sa kabilang equation na y-x=7.

$$9x+6-x=7$$

Idagdag ang 9x sa -x.

$$8x+6=7$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}$$

I-substitute ang \frac{1}{8} para sa x sa y=9x+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

I-multiply ang 9 times \frac{1}{8}.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

Idagdag ang 6 sa \frac{9}{8}.

$$y=\frac{57}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$y-9x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$y-9x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-9x=6,y-x=7$$

I-subtract ang y-x=7 mula sa y-9x=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-9x+x=6-7$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9x+x=6-7$$

Idagdag ang -9x sa x.

$$-8x=6-7$$

Idagdag ang 6 sa -7.

$$-8x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=\frac{1}{8}$$

I-substitute ang \frac{1}{8} para sa x sa y-x=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

Idagdag ang \frac{1}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{57}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$