Lutasin ang {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7.5p mula sa magkabilang dulo.

$$y-7.5p=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 0.6p sa parehong bahagi.

$$y+0.6p=300$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-7.5p=45$$

Idagdag ang \frac{15p}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=7.5p+45$$

I-substitute ang \frac{15p}{2}+45 para sa y sa kabilang equation na y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

Idagdag ang \frac{15p}{2} sa \frac{3p}{5}.

$$8.1p+45=300$$

I-subtract ang 45 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8.1p=255$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.1, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$p=\frac{850}{27}$$

I-substitute ang \frac{850}{27} para sa p sa y=7.5p+45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

I-multiply ang 7.5 times \frac{850}{27} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

Idagdag ang 45 sa \frac{2125}{9}.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7.5p mula sa magkabilang dulo.

$$y-7.5p=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 0.6p sa parehong bahagi.

$$y+0.6p=300$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at p.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 7.5p mula sa magkabilang dulo.

$$y-7.5p=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 0.6p sa parehong bahagi.

$$y+0.6p=300$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

I-subtract ang y+0.6p=300 mula sa y-7.5p=45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

Idagdag ang -\frac{15p}{2} sa -\frac{3p}{5}.

$$-8.1p=45-300$$

Idagdag ang 45 sa -300.

$$-8.1p=-255$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.1, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$p=\frac{850}{27}$$

I-substitute ang \frac{850}{27} para sa p sa y+0.6p=300. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

I-multiply ang 0.6 times \frac{850}{27} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

I-subtract ang \frac{170}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$