Lutasin ang {l}{y=5x-1}{2x+3y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=1$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=-1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-5x=-1,3y+2x=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-5x=-1$$

Idagdag ang 5x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=5x-1$$

I-substitute ang 5x-1 para sa y sa kabilang equation na 3y+2x=14.

$$3\left(5x-1\right)+2x=14$$

I-multiply ang 3 times 5x-1.

$$15x-3+2x=14$$

Idagdag ang 15x sa 2x.

$$17x-3=14$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$17x=17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y=5x-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=5-1$$

Idagdag ang -1 sa 5.

$$y=4$$

Nalutas na ang system.

$$y=4,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=-1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-5x=-1,3y+2x=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\left(-1\right)+\frac{5}{17}\times 14\\-\frac{3}{17}\left(-1\right)+\frac{1}{17}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=4,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=-1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-5x=-1,3y+2x=14$$

Para gawing magkatumbas ang y at 3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3y+3\left(-5\right)x=3\left(-1\right),3y+2x=14$$

Pasimplehin.

$$3y-15x=-3,3y+2x=14$$

I-subtract ang 3y+2x=14 mula sa 3y-15x=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y-15x-2x=-3-14$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15x-2x=-3-14$$

Idagdag ang -15x sa -2x.

$$-17x=-3-14$$

Idagdag ang -3 sa -14.

$$-17x=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa 3y+2x=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3y+2=14$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=4$$

Nalutas na ang system.

$$y=4,x=1$$