Lutasin ang {l}{y=3x+2}{y=-x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 2 } \\ { y = - x - 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=-6$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=2,y+x=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=2$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x+2$$

I-substitute ang 3x+2 para sa y sa kabilang equation na y+x=-6.

$$3x+2+x=-6$$

Idagdag ang 3x sa x.

$$4x+2=-6$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y=3x+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3\left(-2\right)+2$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$y=-6+2$$

Idagdag ang 2 sa -6.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=-6$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=2,y+x=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{3}{4}\left(-6\right)\\-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-4,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=-6$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=2,y+x=-6$$

I-subtract ang y+x=-6 mula sa y-3x=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-3x-x=2+6$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3x-x=2+6$$

Idagdag ang -3x sa -x.

$$-4x=2+6$$

Idagdag ang 2 sa 6.

$$-4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y+x=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2=-6$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=-2$$