Lutasin ang {l}{y=3x+1}{y=2/5x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{25}{13} = -1\frac{12}{13} \approx -1.923076923$$

$$y = -\frac{62}{13} = -4\frac{10}{13} \approx -4.769230769$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{2}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{2}{5}x=-4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=1,y-\frac{2}{5}x=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=1$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x+1$$

I-substitute ang 3x+1 para sa y sa kabilang equation na y-\frac{2}{5}x=-4.

$$3x+1-\frac{2}{5}x=-4$$

Idagdag ang 3x sa -\frac{2x}{5}.

$$\frac{13}{5}x+1=-4$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{5}x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{25}{13}$$

I-substitute ang -\frac{25}{13} para sa x sa y=3x+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3\left(-\frac{25}{13}\right)+1$$

I-multiply ang 3 times -\frac{25}{13}.

$$y=-\frac{75}{13}+1$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{75}{13}.

$$y=-\frac{62}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{62}{13},x=-\frac{25}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{2}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{2}{5}x=-4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=1,y-\frac{2}{5}x=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-\frac{2}{5}-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-\frac{2}{5}-\left(-3\right)}&\frac{1}{-\frac{2}{5}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{15}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}+\frac{15}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}+\frac{5}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{13}\\-\frac{25}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{62}{13},x=-\frac{25}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{2}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{2}{5}x=-4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=1,y-\frac{2}{5}x=-4$$

I-subtract ang y-\frac{2}{5}x=-4 mula sa y-3x=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-3x+\frac{2}{5}x=1+4$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3x+\frac{2}{5}x=1+4$$

Idagdag ang -3x sa \frac{2x}{5}.

$$-\frac{13}{5}x=1+4$$

Idagdag ang 1 sa 4.

$$-\frac{13}{5}x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{13}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{25}{13}$$

I-substitute ang -\frac{25}{13} para sa x sa y-\frac{2}{5}x=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{13}\right)=-4$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times -\frac{25}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y+\frac{10}{13}=-4$$

I-subtract ang \frac{10}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{62}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{62}{13},x=-\frac{25}{13}$$