Lutasin ang {l}{y=2x-6}{y=4x-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 6 } \\ { y = 4 x - 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=3$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-12$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=-6,y-4x=-12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=-6$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x-6$$

I-substitute ang -6+2x para sa y sa kabilang equation na y-4x=-12.

$$2x-6-4x=-12$$

Idagdag ang 2x sa -4x.

$$-2x-6=-12$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa y=2x-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\times 3-6$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$y=6-6$$

Idagdag ang -6 sa 6.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-12$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=-6,y-4x=-12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-6\right)-\left(-12\right)\\\frac{1}{2}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=0,x=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-12$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=-6,y-4x=-12$$

I-subtract ang y-4x=-12 mula sa y-2x=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-2x+4x=-6+12$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2x+4x=-6+12$$

Idagdag ang -2x sa 4x.

$$2x=-6+12$$

Idagdag ang -6 sa 12.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa y-4x=-12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-4\times 3=-12$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$y-12=-12$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=3$$