Lutasin ang {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=8$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+8$$

I-substitute ang 8+2x para sa y sa kabilang equation na 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

I-multiply ang 2 times 8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

Idagdag ang 4x sa 3x.

$$7x+16=-12$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=-4$$

I-substitute ang -4 para sa x sa y=2x+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

I-multiply ang 2 times -4.

$$y=-8+8$$

Idagdag ang 8 sa -8.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=0,x=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Para gawing magkatumbas ang y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

Pasimplehin.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

I-subtract ang 2y+3x=-12 mula sa 2y-4x=16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4x-3x=16+12$$

Idagdag ang -4x sa -3x.

$$-7x=16+12$$

Idagdag ang 16 sa 12.

$$-7x=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=-4$$

I-substitute ang -4 para sa x sa 2y+3x=-12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

I-multiply ang 3 times -4.

$$2y-12=-12$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=-4$$