Lutasin ang {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-x=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=7$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+7$$

I-substitute ang 2x+7 para sa y sa kabilang equation na 2y-x=2.

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

I-multiply ang 2 times 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

Idagdag ang 4x sa -x.

$$3x+14=2$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-4$$

I-substitute ang -4 para sa x sa y=2x+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

I-multiply ang 2 times -4.

$$y=-8+7$$

Idagdag ang 7 sa -8.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-x=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-1,x=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-x=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Para gawing magkatumbas ang y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

Pasimplehin.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

I-subtract ang 2y-x=2 mula sa 2y-4x=14 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4x+x=14-2$$

Idagdag ang -4x sa x.

$$-3x=14-2$$

Idagdag ang 14 sa -2.

$$-3x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-4$$

I-substitute ang -4 para sa x sa 2y-x=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=-4$$