Lutasin ang {l}{y=2x+3}{y=6x+15}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = 6 x + 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=15$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=3$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+3$$

I-substitute ang 2x+3 para sa y sa kabilang equation na y-6x=15.

$$2x+3-6x=15$$

Idagdag ang 2x sa -6x.

$$-4x+3=15$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y=2x+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

I-multiply ang 2 times -3.

$$y=-6+3$$

Idagdag ang 3 sa -6.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=15$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-2\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 15\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-3,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$y-6x=15$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

I-subtract ang y-6x=15 mula sa y-2x=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-2x+6x=3-15$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2x+6x=3-15$$

Idagdag ang -2x sa 6x.

$$4x=3-15$$

Idagdag ang 3 sa -15.

$$4x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y-6x=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-6\left(-3\right)=15$$

I-multiply ang -6 times -3.

$$y+18=15$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=-3$$