Lutasin ang {l}{y=2x+1}{y=3x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { y = 3 x + 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=1$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+1$$

I-substitute ang 2x+1 para sa y sa kabilang equation na y-3x=3.

$$2x+1-3x=3$$

Idagdag ang 2x sa -3x.

$$-x+1=3$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y=2x+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\left(-2\right)+1$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$y=-4+1$$

Idagdag ang 1 sa -4.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\times 3\\1-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-3,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

I-subtract ang y-3x=3 mula sa y-2x=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-2x+3x=1-3$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2x+3x=1-3$$

Idagdag ang -2x sa 3x.

$$x=1-3$$

Idagdag ang 1 sa -3.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y-3x=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-3\left(-2\right)=3$$

I-multiply ang -3 times -2.

$$y+6=3$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3$$

Nalutas na ang system.

$$y=-3,x=-2$$