Lutasin ang {l}{y=0.15x+2.75}{y=0.65x+0.25}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 0.15 x + 2.75 } \\ { y = 0.65 x + 0.25 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=5$$

$$y=3.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.15x=2.75$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.65x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.65x=0.25$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-0.15x=2.75$$

Idagdag ang \frac{3x}{20} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=0.15x+2.75$$

I-substitute ang \frac{3x}{20}+2.75 para sa y sa kabilang equation na y-0.65x=0.25.

$$0.15x+2.75-0.65x=0.25$$

Idagdag ang \frac{3x}{20} sa -\frac{13x}{20}.

$$-0.5x+2.75=0.25$$

I-subtract ang 2.75 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-0.5x=-2.5$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa y=0.15x+2.75. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=0.15\times 5+2.75$$

I-multiply ang 0.15 times 5.

$$y=\frac{3+11}{4}$$

Idagdag ang 2.75 sa 0.75 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=3.5$$

Nalutas na ang system.

$$y=3.5,x=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.15x=2.75$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.65x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.65x=0.25$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.65}{-0.65-\left(-0.15\right)}&-\frac{-0.15}{-0.65-\left(-0.15\right)}\\-\frac{1}{-0.65-\left(-0.15\right)}&\frac{1}{-0.65-\left(-0.15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.3&-0.3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.3\times 2.75-0.3\times 0.25\\2\times 2.75-2\times 0.25\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.5\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=3.5,x=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.15x=2.75$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.65x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.65x=0.25$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

I-subtract ang y-0.65x=0.25 mula sa y-0.15x=2.75 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-0.15x+0.65x=\frac{11-1}{4}$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-0.15x+0.65x=\frac{11-1}{4}$$

Idagdag ang -\frac{3x}{20} sa \frac{13x}{20}.

$$0.5x=\frac{11-1}{4}$$

Idagdag ang 2.75 sa -0.25 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$0.5x=2.5$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa y-0.65x=0.25. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-0.65\times 5=0.25$$

I-multiply ang -0.65 times 5.

$$y-3.25=0.25$$

Idagdag ang 3.25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3.5$$

Nalutas na ang system.

$$y=3.5,x=5$$