Lutasin ang {l}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.5x=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-0.5x=2$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=0.5x+2$$

I-substitute ang \frac{x}{2}+2 para sa y sa kabilang equation na 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

I-multiply ang 3 times \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

Idagdag ang \frac{3x}{2} sa x.

$$2.5x+6=1$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2.5x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y=0.5x+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

I-multiply ang 0.5 times -2.

$$y=-1+2$$

Idagdag ang 2 sa -1.

$$y=1$$

Nalutas na ang system.

$$y=1,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.5x=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=1,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 0.5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-0.5x=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Para gawing magkatumbas ang y at 3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Pasimplehin.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

I-subtract ang 3y+x=1 mula sa 3y-1.5x=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-1.5x-x=6-1$$

Idagdag ang -\frac{3x}{2} sa -x.

$$-2.5x=6-1$$

Idagdag ang 6 sa -1.

$$-2.5x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa 3y+x=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3y-2=1$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=1$$

Nalutas na ang system.

$$y=1,x=-2$$