Lutasin ang {l}{y=-3x-17}{3y=3x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 17 } \\ { 3 y = 3 x + 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-5$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=-17$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-3x=9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+3x=-17$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3x-17$$

I-substitute ang -3x-17 para sa y sa kabilang equation na 3y-3x=9.

$$3\left(-3x-17\right)-3x=9$$

I-multiply ang 3 times -3x-17.

$$-9x-51-3x=9$$

Idagdag ang -9x sa -3x.

$$-12x-51=9$$

Idagdag ang 51 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12x=60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=-5$$

I-substitute ang -5 para sa x sa y=-3x-17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-3\left(-5\right)-17$$

I-multiply ang -3 times -5.

$$y=15-17$$

Idagdag ang -17 sa 15.

$$y=-2$$

Nalutas na ang system.

$$y=-2,x=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=-17$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-3x=9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 3}&-\frac{3}{-3-3\times 3}\\-\frac{3}{-3-3\times 3}&\frac{1}{-3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-17\right)+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-17\right)-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-2,x=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=-17$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-3x=9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Para gawing magkatumbas ang y at 3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3y+3\times 3x=3\left(-17\right),3y-3x=9$$

Pasimplehin.

$$3y+9x=-51,3y-3x=9$$

I-subtract ang 3y-3x=9 mula sa 3y+9x=-51 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y+9x+3x=-51-9$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9x+3x=-51-9$$

Idagdag ang 9x sa 3x.

$$12x=-51-9$$

Idagdag ang -51 sa -9.

$$12x=-60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=-5$$

I-substitute ang -5 para sa x sa 3y-3x=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3y-3\left(-5\right)=9$$

I-multiply ang -3 times -5.

$$3y+15=9$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-2$$

Nalutas na ang system.

$$y=-2,x=-5$$