Lutasin ang {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=7$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=13$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+2x=13$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-2x+13$$

I-substitute ang -2x+13 para sa y sa kabilang equation na 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

I-multiply ang 8 times -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

Idagdag ang -16x sa 4x.

$$-12x+104=20$$

I-subtract ang 104 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12x=-84$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa y=-2x+13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-2\times 7+13$$

I-multiply ang -2 times 7.

$$y=-14+13$$

Idagdag ang 13 sa -14.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=13$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-1,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=13$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Para gawing magkatumbas ang y at 8y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

Pasimplehin.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

I-subtract ang 8y+4x=20 mula sa 8y+16x=104 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

Idagdag ang 8y sa -8y. Naka-cancel out ang term na 8y at -8y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16x-4x=104-20$$

Idagdag ang 16x sa -4x.

$$12x=104-20$$

Idagdag ang 104 sa -20.

$$12x=84$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa 8y+4x=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$8y+4\times 7=20$$

I-multiply ang 4 times 7.

$$8y+28=20$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=7$$