Lutasin ang {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{7}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{2}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

I-subtract ang \frac{7x}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

I-substitute ang -\frac{7x}{3}+3 para sa y sa kabilang equation na y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Idagdag ang -\frac{7x}{3} sa \frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa y=-\frac{7}{3}x+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

I-multiply ang -\frac{7}{3} times 3.

$$y=-7+3$$

Idagdag ang 3 sa -7.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{7}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{2}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-4,x=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{7}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{2}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

I-subtract ang y+\frac{2}{3}x=-2 mula sa y+\frac{7}{3}x=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Idagdag ang \frac{7x}{3} sa -\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Idagdag ang 3 sa 2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa y+\frac{2}{3}x=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 3.

$$y+2=-2$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=3$$