Lutasin ang {l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Hati-hatiin ang bawat termino ng x+1 sa 2 para makuha ang \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 3 para makuha ang \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

I-substitute ang \frac{7+x}{2} para sa y sa kabilang equation na y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

I-subtract ang \frac{7}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang -\frac{13}{3} para sa x sa y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -\frac{13}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa -\frac{13}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Hati-hatiin ang bawat termino ng x+1 sa 2 para makuha ang \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 3 para makuha ang \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=10$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Hati-hatiin ang bawat termino ng x+1 sa 2 para makuha ang \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Idagdag ang \frac{1}{2} at 3 para makuha ang \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=10$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

I-subtract ang y-2x=10 mula sa y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

Idagdag ang -\frac{x}{2} sa 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang -\frac{13}{3} para sa x sa y-2x=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

I-multiply ang -2 times -\frac{13}{3}.

$$y+\frac{26}{3}=10$$

I-subtract ang \frac{26}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$