Lutasin ang {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Idagdag ang \frac{x}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

I-substitute ang \frac{x}{3}+6 para sa y sa kabilang equation na y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Idagdag ang \frac{x}{3} sa -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{63}{2}$$

I-substitute ang -\frac{63}{2} para sa x sa y=\frac{1}{3}x+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -\frac{63}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Idagdag ang 6 sa -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

I-subtract ang y-\frac{1}{9}x=-1 mula sa y-\frac{1}{3}x=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Idagdag ang -\frac{x}{3} sa \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Idagdag ang 6 sa 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{63}{2}$$

I-substitute ang -\frac{63}{2} para sa x sa y-\frac{1}{9}x=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

I-multiply ang -\frac{1}{9} times -\frac{63}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

I-subtract ang \frac{7}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$