Lutasin ang {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

I-substitute ang \frac{x}{2}+1 para sa y sa kabilang equation na 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

I-multiply ang 2 times \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Idagdag ang x sa 3x.

$$4x+2=-2$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa y=\frac{1}{2}x+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Para gawing magkatumbas ang y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Pasimplehin.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

I-subtract ang 2y+3x=-2 mula sa 2y-x=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x-3x=2+2$$

Idagdag ang -x sa -3x.

$$-4x=2+2$$

Idagdag ang 2 sa 2.

$$-4x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa 2y+3x=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

I-multiply ang 3 times -1.

$$2y-3=-2$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$