Lutasin ang {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+3x=56$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3x+56$$

I-substitute ang -3x+56 para sa y sa kabilang equation na 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

I-multiply ang 4 times -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Idagdag ang -12x sa x.

$$-11x+224=34$$

I-subtract ang 224 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11x=-190$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

I-substitute ang \frac{190}{11} para sa x sa y=-3x+56. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

I-multiply ang -3 times \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Idagdag ang 56 sa -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Para gawing magkatumbas ang y at 4y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Pasimplehin.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

I-subtract ang 4y+x=34 mula sa 4y+12x=224 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Idagdag ang 4y sa -4y. Naka-cancel out ang term na 4y at -4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12x-x=224-34$$

Idagdag ang 12x sa -x.

$$11x=224-34$$

Idagdag ang 224 sa -34.

$$11x=190$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

I-substitute ang \frac{190}{11} para sa x sa 4y+x=34. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

I-subtract ang \frac{190}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=\frac{184}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$