Lutasin ang {l}{x-y=4}{2x-5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=4$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+4$$

I-substitute ang y+4 para sa x sa kabilang equation na 2x-5y=2.

$$2\left(y+4\right)-5y=2$$

I-multiply ang 2 times y+4.

$$2y+8-5y=2$$

Idagdag ang 2y sa -5y.

$$-3y+8=2$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2+4$$

Idagdag ang 4 sa 2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-5-\left(-2\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 4,2x-5y=2$$

Pasimplehin.

$$2x-2y=8,2x-5y=2$$

I-subtract ang 2x-5y=2 mula sa 2x-2y=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-2y+5y=8-2$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y+5y=8-2$$

Idagdag ang -2y sa 5y.

$$3y=8-2$$

Idagdag ang 8 sa -2.

$$3y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 2x-5y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-5\times 2=2$$

I-multiply ang -5 times 2.

$$2x-10=2$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=2$$