Lutasin ang {l}{x-y=1}{y=-4x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 1 } \\ { y = - 4 x + 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=1$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+1$$

I-substitute ang y+1 para sa x sa kabilang equation na 4x+y=4.

$$4\left(y+1\right)+y=4$$

I-multiply ang 4 times y+1.

$$4y+4+y=4$$

Idagdag ang 4y sa y.

$$5y+4=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Para gawing magkatumbas ang x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4,4x+y=4$$

Pasimplehin.

$$4x-4y=4,4x+y=4$$

I-subtract ang 4x+y=4 mula sa 4x-4y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x-4y-y=4-4$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-y=4-4$$

Idagdag ang -4y sa -y.

$$-5y=4-4$$

Idagdag ang 4 sa -4.

$$-5y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 4x+y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=0$$