Lutasin ang {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5x-30=y-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-30-y=-6$$

Idagdag ang 30 sa parehong bahagi.

$$5x-y=-6+30$$

Idagdag ang -6 at 30 para makuha ang 24.

$$5x-y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+18=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+18-y=0$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-y=-18$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=24$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

I-substitute ang \frac{24+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

I-multiply ang 2 times \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

I-subtract ang \frac{48}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=46$$

I-substitute ang 46 para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Idagdag ang \frac{24}{5} sa \frac{46}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=14$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=46$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5x-30=y-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-30-y=-6$$

Idagdag ang 30 sa parehong bahagi.

$$5x-y=-6+30$$

Idagdag ang -6 at 30 para makuha ang 24.

$$5x-y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+18=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+18-y=0$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-y=-18$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=14,y=46$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5x-30=y-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-30-y=-6$$

Idagdag ang 30 sa parehong bahagi.

$$5x-y=-6+30$$

Idagdag ang -6 at 30 para makuha ang 24.

$$5x-y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+18=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+18-y=0$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-y=-18$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

I-subtract ang 2x-y=-18 mula sa 5x-y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5x-2x=24+18$$

Idagdag ang 5x sa -2x.

$$3x=24+18$$

Idagdag ang 24 sa 18.

$$3x=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=14$$

I-substitute ang 14 para sa x sa 2x-y=-18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\times 14-y=-18$$

I-multiply ang 2 times 14.

$$28-y=-18$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-46$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=46$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=46$$