Lutasin ang {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-3y=11$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3y+11$$

I-substitute ang 3y+11 para sa x sa kabilang equation na 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

I-multiply ang 4 times 3y+11.

$$12y+44+11y=12$$

Idagdag ang 12y sa 11y.

$$23y+44=12$$

I-subtract ang 44 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$23y=-32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

I-substitute ang -\frac{32}{23} para sa y sa x=3y+11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

I-multiply ang 3 times -\frac{32}{23}.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

Idagdag ang 11 sa -\frac{96}{23}.

$$x=\frac{157}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Para gawing magkatumbas ang x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

Pasimplehin.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

I-subtract ang 4x+11y=12 mula sa 4x-12y=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-11y=44-12$$

Idagdag ang -12y sa -11y.

$$-23y=44-12$$

Idagdag ang 44 sa -12.

$$-23y=32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

I-substitute ang -\frac{32}{23} para sa y sa 4x+11y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

I-multiply ang 11 times -\frac{32}{23}.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

Idagdag ang \frac{352}{23} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{628}{23}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{157}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$