Lutasin ang {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+36-3y=0$$

I-subtract ang 36 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$x-3y=-36$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=90$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+90$$

I-substitute ang -y+90 para sa x sa kabilang equation na x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Idagdag ang -y sa -3y.

$$-4y+90=-36$$

I-subtract ang 90 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=-126$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

I-substitute ang \frac{63}{2} para sa y sa x=-y+90. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Idagdag ang 90 sa -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+36-3y=0$$

I-subtract ang 36 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$x-3y=-36$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+36-3y=0$$

I-subtract ang 36 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$x-3y=-36$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

I-subtract ang x-3y=-36 mula sa x+y=90 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y+3y=90+36$$

Idagdag ang y sa 3y.

$$4y=90+36$$

Idagdag ang 90 sa 36.

$$4y=126$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

I-substitute ang \frac{63}{2} para sa y sa x-3y=-36. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

I-multiply ang -3 times \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Idagdag ang \frac{189}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{117}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$