Lutasin ang {l}{x+y=8}{x+3y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=8,x+3y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=8$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+8$$

I-substitute ang -y+8 para sa x sa kabilang equation na x+3y=14.

$$-y+8+3y=14$$

Idagdag ang -y sa 3y.

$$2y+8=14$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-y+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3+8$$

Idagdag ang 8 sa -3.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=8,x+3y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{1}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 14\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=8,x+3y=14$$

I-subtract ang x+3y=14 mula sa x+y=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+y-3y=8-14$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-3y=8-14$$

Idagdag ang y sa -3y.

$$-2y=8-14$$

Idagdag ang 8 sa -14.

$$-2y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x+3y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\times 3=14$$

I-multiply ang 3 times 3.

$$x+9=14$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=3$$