Lutasin ang {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=74$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+74$$

I-substitute ang -y+74 para sa x sa kabilang equation na 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

I-multiply ang 40 times -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Idagdag ang -40y sa 60y.

$$20y+2960=3660$$

I-subtract ang 2960 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$20y=700$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$y=35$$

I-substitute ang 35 para sa y sa x=-y+74. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-35+74$$

Idagdag ang 74 sa -35.

$$x=39$$

Nalutas na ang system.

$$x=39,y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=39,y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Para gawing magkatumbas ang x at 40x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 40 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Pasimplehin.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

I-subtract ang 40x+60y=3660 mula sa 40x+40y=2960 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Idagdag ang 40x sa -40x. Naka-cancel out ang term na 40x at -40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40y-60y=2960-3660$$

Idagdag ang 40y sa -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Idagdag ang 2960 sa -3660.

$$-20y=-700$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -20.

$$y=35$$

I-substitute ang 35 para sa y sa 40x+60y=3660. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$40x+60\times 35=3660$$

I-multiply ang 60 times 35.

$$40x+2100=3660$$

I-subtract ang 2100 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40x=1560$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$x=39$$

Nalutas na ang system.

$$x=39,y=35$$