Lutasin ang {l}{x+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=18$$

$$y=51$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=69,2x+y=87$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=69$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+69$$

I-substitute ang -y+69 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=87.

$$2\left(-y+69\right)+y=87$$

I-multiply ang 2 times -y+69.

$$-2y+138+y=87$$

Idagdag ang -2y sa y.

$$-y+138=87$$

I-subtract ang 138 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-51$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=51$$

I-substitute ang 51 para sa y sa x=-y+69. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-51+69$$

Idagdag ang 69 sa -51.

$$x=18$$

Nalutas na ang system.

$$x=18,y=51$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=69,2x+y=87$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+87\\2\times 69-87\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\51\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=18,y=51$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=69,2x+y=87$$

I-subtract ang 2x+y=87 mula sa x+y=69 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-2x+y-y=69-87$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x-2x=69-87$$

Idagdag ang x sa -2x.

$$-x=69-87$$

Idagdag ang 69 sa -87.

$$-x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=18$$

I-substitute ang 18 para sa x sa 2x+y=87. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\times 18+y=87$$

I-multiply ang 2 times 18.

$$36+y=87$$

I-subtract ang 36 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=51$$

Nalutas na ang system.

$$x=18,y=51$$