Lutasin ang {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=500$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+500$$

I-substitute ang -y+500 para sa x sa kabilang equation na 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

I-multiply ang 25 times -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Idagdag ang -25y sa 35y.

$$10y+12500=1450$$

I-subtract ang 12500 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10y=-11050$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=-1105$$

I-substitute ang -1105 para sa y sa x=-y+500. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

I-multiply ang -1 times -1105.

$$x=1105+500$$

Idagdag ang 500 sa 1105.

$$x=1605$$

Nalutas na ang system.

$$x=1605,y=-1105$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1605,y=-1105$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Para gawing magkatumbas ang x at 25x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 25 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Pasimplehin.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

I-subtract ang 25x+35y=1450 mula sa 25x+25y=12500 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Idagdag ang 25x sa -25x. Naka-cancel out ang term na 25x at -25x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$25y-35y=12500-1450$$

Idagdag ang 25y sa -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Idagdag ang 12500 sa -1450.

$$-10y=11050$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=-1105$$

I-substitute ang -1105 para sa y sa 25x+35y=1450. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

I-multiply ang 35 times -1105.

$$25x-38675=1450$$

Idagdag ang 38675 sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x=40125$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$x=1605$$

Nalutas na ang system.

$$x=1605,y=-1105$$