Lutasin ang {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=250$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+250$$

I-substitute ang -y+250 para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

I-multiply ang \frac{1}{19} times -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Idagdag ang -\frac{y}{19} sa \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

I-subtract ang \frac{250}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{190}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{370}{3}$$

I-substitute ang \frac{370}{3} para sa y sa x=-y+250. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Idagdag ang 250 sa -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Para gawing magkatumbas ang x at \frac{x}{19}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{19} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

I-subtract ang \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 mula sa \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Idagdag ang \frac{x}{19} sa -\frac{x}{19}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{19} at -\frac{x}{19} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Idagdag ang \frac{y}{19} sa -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Idagdag ang \frac{250}{19} sa -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{190}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{370}{3}$$

I-substitute ang \frac{370}{3} para sa y sa \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times \frac{370}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

I-subtract ang \frac{37}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$