Lutasin ang {l}{x+y=20}{x+5=11/2y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { x + 5 = 1 \frac { 1 } { 2 } y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$2x+10=3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+10-3y=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-3y=-10$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=20$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+20$$

I-substitute ang -y+20 para sa x sa kabilang equation na 2x-3y=-10.

$$2\left(-y+20\right)-3y=-10$$

I-multiply ang 2 times -y+20.

$$-2y+40-3y=-10$$

Idagdag ang -2y sa -3y.

$$-5y+40=-10$$

I-subtract ang 40 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5y=-50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-y+20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-10+20$$

Idagdag ang 20 sa -10.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$2x+10=3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+10-3y=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-3y=-10$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 20+\frac{1}{5}\left(-10\right)\\\frac{2}{5}\times 20-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$2x+10=3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+10-3y=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2x-3y=-10$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2y=2\times 20,2x-3y=-10$$

Pasimplehin.

$$2x+2y=40,2x-3y=-10$$

I-subtract ang 2x-3y=-10 mula sa 2x+2y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+2y+3y=40+10$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y+3y=40+10$$

Idagdag ang 2y sa 3y.

$$5y=40+10$$

Idagdag ang 40 sa 10.

$$5y=50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa 2x-3y=-10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-3\times 10=-10$$

I-multiply ang -3 times 10.

$$2x-30=-10$$

Idagdag ang 30 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=10$$