Lutasin ang {l}{x+y=140}{0.2x+0.45y=49}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { 0.2 x + 0.45 y = 49 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=56$$

$$y=84$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=140$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+140$$

I-substitute ang -y+140 para sa x sa kabilang equation na 0.2x+0.45y=49.

$$0.2\left(-y+140\right)+0.45y=49$$

I-multiply ang 0.2 times -y+140.

$$-0.2y+28+0.45y=49$$

Idagdag ang -\frac{y}{5} sa \frac{9y}{20}.

$$0.25y+28=49$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.25y=21$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=84$$

I-substitute ang 84 para sa y sa x=-y+140. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-84+140$$

Idagdag ang 140 sa -84.

$$x=56$$

Nalutas na ang system.

$$x=56,y=84$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.45}{0.45-0.2}&-\frac{1}{0.45-0.2}\\-\frac{0.2}{0.45-0.2}&\frac{1}{0.45-0.2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8&-4\\-0.8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\times 140-4\times 49\\-0.8\times 140+4\times 49\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\84\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=56,y=84$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

Para gawing magkatumbas ang x at \frac{x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 0.2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$0.2x+0.2y=0.2\times 140,0.2x+0.45y=49$$

Pasimplehin.

$$0.2x+0.2y=28,0.2x+0.45y=49$$

I-subtract ang 0.2x+0.45y=49 mula sa 0.2x+0.2y=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$0.2x-0.2x+0.2y-0.45y=28-49$$

Idagdag ang \frac{x}{5} sa -\frac{x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{5} at -\frac{x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$0.2y-0.45y=28-49$$

Idagdag ang \frac{y}{5} sa -\frac{9y}{20}.

$$-0.25y=28-49$$

Idagdag ang 28 sa -49.

$$-0.25y=-21$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=84$$

I-substitute ang 84 para sa y sa 0.2x+0.45y=49. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$0.2x+0.45\times 84=49$$

I-multiply ang 0.45 times 84.

$$0.2x+37.8=49$$

I-subtract ang 37.8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.2x=11.2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=56$$

Nalutas na ang system.

$$x=56,y=84$$