Lutasin ang {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=130$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+130$$

I-substitute ang -y+130 para sa x sa kabilang equation na 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

I-multiply ang 20 times -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Idagdag ang -20y sa 5y.

$$-15y+2600=1925$$

I-subtract ang 2600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15y=-675$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=45$$

I-substitute ang 45 para sa y sa x=-y+130. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-45+130$$

Idagdag ang 130 sa -45.

$$x=85$$

Nalutas na ang system.

$$x=85,y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=85,y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Para gawing magkatumbas ang x at 20x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 20 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Pasimplehin.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

I-subtract ang 20x+5y=1925 mula sa 20x+20y=2600 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-5y=2600-1925$$

Idagdag ang 20y sa -5y.

$$15y=2600-1925$$

Idagdag ang 2600 sa -1925.

$$15y=675$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=45$$

I-substitute ang 45 para sa y sa 20x+5y=1925. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$20x+5\times 45=1925$$

I-multiply ang 5 times 45.

$$20x+225=1925$$

I-subtract ang 225 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$20x=1700$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$x=85$$

Nalutas na ang system.

$$x=85,y=45$$