Lutasin ang {l}{x+y=100}{kx+y=100}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { k x + y = 100 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=100\text{, }&\text{unconditionally}\\x=100-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=1\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=100,kx+y=100$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=100$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+100$$

I-substitute ang -y+100 para sa x sa kabilang equation na kx+y=100.

$$k\left(-y+100\right)+y=100$$

I-multiply ang k times -y+100.

$$\left(-k\right)y+100k+y=100$$

Idagdag ang -ky sa y.

$$\left(1-k\right)y+100k=100$$

I-subtract ang 100k mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(1-k\right)y=100-100k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -k+1.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa x=-y+100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-100+100$$

Idagdag ang 100 sa -100.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=100,kx+y=100$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-k}&-\frac{1}{1-k}\\-\frac{k}{1-k}&\frac{1}{1-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-k}\times 100+\left(-\frac{1}{1-k}\right)\times 100\\\left(-\frac{k}{1-k}\right)\times 100+\frac{1}{1-k}\times 100\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=100,kx+y=100$$

I-subtract ang kx+y=100 mula sa x+y=100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x+\left(-k\right)x+y-y=100-100$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x+\left(-k\right)x=100-100$$

Idagdag ang x sa -kx.

$$\left(1-k\right)x=100-100$$

Idagdag ang 100 sa -100.

$$\left(1-k\right)x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1-k.

$$x=0$$

I-substitute ang 0 para sa x sa kx+y=100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=100$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=100\text{, }&\text{unconditionally}\\x=100-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=1\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=100,kx+y=100$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=100$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+100$$

I-substitute ang -y+100 para sa x sa kabilang equation na kx+y=100.

$$k\left(-y+100\right)+y=100$$

I-multiply ang k times -y+100.

$$\left(-k\right)y+100k+y=100$$

Idagdag ang -ky sa y.

$$\left(1-k\right)y+100k=100$$

I-subtract ang 100k mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(1-k\right)y=100-100k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -k+1.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa x=-y+100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-100+100$$

Idagdag ang 100 sa -100.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=100,kx+y=100$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-k}&-\frac{1}{1-k}\\-\frac{k}{1-k}&\frac{1}{1-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\100\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-k}\times 100+\left(-\frac{1}{1-k}\right)\times 100\\\left(-\frac{k}{1-k}\right)\times 100+\frac{1}{1-k}\times 100\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=100,kx+y=100$$

I-subtract ang kx+y=100 mula sa x+y=100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x+\left(-k\right)x+y-y=100-100$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x+\left(-k\right)x=100-100$$

Idagdag ang x sa -kx.

$$\left(1-k\right)x=100-100$$

Idagdag ang 100 sa -100.

$$\left(1-k\right)x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1-k.

$$x=0$$

I-substitute ang 0 para sa x sa kx+y=100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=100$$