Lutasin ang {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=637$$

$$y=-537$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=100$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+100$$

I-substitute ang -y+100 para sa x sa kabilang equation na 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

I-multiply ang 60 times -y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

Idagdag ang -60y sa 70y.

$$10y+6000=630$$

I-subtract ang 6000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10y=-5370$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=-537$$

I-substitute ang -537 para sa y sa x=-y+100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

I-multiply ang -1 times -537.

$$x=537+100$$

Idagdag ang 100 sa 537.

$$x=637$$

Nalutas na ang system.

$$x=637,y=-537$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=637,y=-537$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Para gawing magkatumbas ang x at 60x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 60 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

Pasimplehin.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

I-subtract ang 60x+70y=630 mula sa 60x+60y=6000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

Idagdag ang 60x sa -60x. Naka-cancel out ang term na 60x at -60x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$60y-70y=6000-630$$

Idagdag ang 60y sa -70y.

$$-10y=6000-630$$

Idagdag ang 6000 sa -630.

$$-10y=5370$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=-537$$

I-substitute ang -537 para sa y sa 60x+70y=630. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

I-multiply ang 70 times -537.

$$60x-37590=630$$

Idagdag ang 37590 sa magkabilang dulo ng equation.

$$60x=38220$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 60.

$$x=637$$

Nalutas na ang system.

$$x=637,y=-537$$