Lutasin ang {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y-6$$

I-substitute ang -y-6 para sa x sa kabilang equation na -3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

I-multiply ang -3 times -y-6.

$$3y+18+y=-2$$

Idagdag ang 3y sa y.

$$4y+18=-2$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa x=-y-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

I-multiply ang -1 times -5.

$$x=5-6$$

Idagdag ang -6 sa 5.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

I-subtract ang -3x+y=-2 mula sa x+y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x+3x=-6+2$$

Idagdag ang x sa 3x.

$$4x=-6+2$$

Idagdag ang -6 sa 2.

$$4x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa -3x+y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

I-multiply ang -3 times -1.

$$3+y=-2$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-5$$