Lutasin ang {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-5y+1$$

I-substitute ang -5y+1 para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

I-multiply ang 3 times -5y+1.

$$-15y+3+4y=4$$

Idagdag ang -15y sa 4y.

$$-11y+3=4$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

I-substitute ang -\frac{1}{11} para sa y sa x=-5y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

I-multiply ang -5 times -\frac{1}{11}.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{5}{11}.

$$x=\frac{16}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Para gawing magkatumbas ang x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

Pasimplehin.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

I-subtract ang 3x+4y=4 mula sa 3x+15y=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-4y=3-4$$

Idagdag ang 15y sa -4y.

$$11y=3-4$$

Idagdag ang 3 sa -4.

$$11y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

I-substitute ang -\frac{1}{11} para sa y sa 3x+4y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

I-multiply ang 4 times -\frac{1}{11}.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

Idagdag ang \frac{4}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{48}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{16}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$