Lutasin ang {l}{x+2y=11}{x-5y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 11 } \\ { x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=11$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+11$$

I-substitute ang -2y+11 para sa x sa kabilang equation na x-5y=-17.

$$-2y+11-5y=-17$$

Idagdag ang -2y sa -5y.

$$-7y+11=-17$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-2y+11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times 4+11$$

I-multiply ang -2 times 4.

$$x=-8+11$$

Idagdag ang 11 sa -8.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2}&-\frac{2}{-5-2}\\-\frac{1}{-5-2}&\frac{1}{-5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 11+\frac{2}{7}\left(-17\right)\\\frac{1}{7}\times 11-\frac{1}{7}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

I-subtract ang x-5y=-17 mula sa x+2y=11 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+2y+5y=11+17$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y+5y=11+17$$

Idagdag ang 2y sa 5y.

$$7y=11+17$$

Idagdag ang 11 sa 17.

$$7y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x-5y=-17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-5\times 4=-17$$

I-multiply ang -5 times 4.

$$x-20=-17$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=4$$