Lutasin ang {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=10$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+10$$

I-substitute ang -2y+10 para sa x sa kabilang equation na -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

I-multiply ang -2 times -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Idagdag ang 4y sa 3y.

$$7y-20=5$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

I-substitute ang \frac{25}{7} para sa y sa x=-2y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

I-multiply ang -2 times \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Idagdag ang 10 sa -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Para gawing magkatumbas ang x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Pasimplehin.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

I-subtract ang -2x+3y=5 mula sa -2x-4y=-20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-3y=-20-5$$

Idagdag ang -4y sa -3y.

$$-7y=-20-5$$

Idagdag ang -20 sa -5.

$$-7y=-25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

I-substitute ang \frac{25}{7} para sa y sa -2x+3y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

I-multiply ang 3 times \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

I-subtract ang \frac{75}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$