Lutasin ang {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=1$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+1$$

I-substitute ang -2y+1 para sa x sa kabilang equation na -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

I-multiply ang -4 times -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Idagdag ang 8y sa y.

$$9y-4=-5$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

I-substitute ang -\frac{1}{9} para sa y sa x=-2y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

I-multiply ang -2 times -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Pasimplehin.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

I-subtract ang -4x+y=-5 mula sa -4x-8y=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Idagdag ang -4x sa 4x. Naka-cancel out ang term na -4x at 4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-y=-4+5$$

Idagdag ang -8y sa -y.

$$-9y=-4+5$$

Idagdag ang -4 sa 5.

$$-9y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

I-substitute ang -\frac{1}{9} para sa y sa -4x+y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Idagdag ang \frac{1}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$