Lutasin ang {l}{x+2y=1}{-2x+y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=1$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+1$$

I-substitute ang -2y+1 para sa x sa kabilang equation na -2x+y=-4.

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

I-multiply ang -2 times -2y+1.

$$4y-2+y=-4$$

Idagdag ang 4y sa y.

$$5y-2=-4$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

I-substitute ang -\frac{2}{5} para sa y sa x=-2y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

I-multiply ang -2 times -\frac{2}{5}.

$$x=\frac{4}{5}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{4}{5}.

$$x=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Para gawing magkatumbas ang x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Pasimplehin.

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

I-subtract ang -2x+y=-4 mula sa -2x-4y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-y=-2+4$$

Idagdag ang -4y sa -y.

$$-5y=-2+4$$

Idagdag ang -2 sa 4.

$$-5y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

I-substitute ang -\frac{2}{5} para sa y sa -2x+y=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$