Lutasin ang {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x+2y=-3$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y-3$$

I-substitute ang -2y-3 para sa x sa kabilang equation na 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

I-multiply ang 4 times -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Idagdag ang -8y sa 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Idagdag ang -12 sa 6.

$$-3y-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-2y-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

I-multiply ang -2 times -2.

$$x=4-3$$

Idagdag ang -3 sa 4.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Pasimplehin.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

I-subtract ang 4x+5y+6=0 mula sa 4x+8y+12=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-5y+12-6=0$$

Idagdag ang 8y sa -5y.

$$3y+12-6=0$$

Idagdag ang 12 sa -6.

$$3y+6=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 4x+5y+6=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

I-multiply ang 5 times -2.

$$4x-10+6=0$$

Idagdag ang -10 sa 6.

$$4x-4=0$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-2$$