Lutasin ang {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa p sa pamamagitan ng pag-isolate sa p sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$p+2q=4$$

I-subtract ang 2q mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$p=-2q+4$$

I-substitute ang -2q+4 para sa p sa kabilang equation na -3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

I-multiply ang -3 times -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

Idagdag ang 6q sa 4q.

$$10q-12=18$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10q=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$q=3$$

I-substitute ang 3 para sa q sa p=-2q+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$p=-2\times 3+4$$

I-multiply ang -2 times 3.

$$p=-6+4$$

Idagdag ang 4 sa -6.

$$p=-2$$

Nalutas na ang system.

$$p=-2,q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na p at q.

$$p=-2,q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Para gawing magkatumbas ang p at -3p, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Pasimplehin.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

I-subtract ang -3p+4q=18 mula sa -3p-6q=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Idagdag ang -3p sa 3p. Naka-cancel out ang term na -3p at 3p ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6q-4q=-12-18$$

Idagdag ang -6q sa -4q.

$$-10q=-12-18$$

Idagdag ang -12 sa -18.

$$-10q=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$q=3$$

I-substitute ang 3 para sa q sa -3p+4q=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$-3p+4\times 3=18$$

I-multiply ang 4 times 3.

$$-3p+12=18$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3p=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$p=-2$$

Nalutas na ang system.

$$p=-2,q=3$$