Lutasin ang {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$mx-y+1-3m=0$$

I-subtract ang -3m+1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx-y=3m-1$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx=y+3m-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

I-substitute ang \frac{y-1+3m}{m} para sa x sa kabilang equation na x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Idagdag ang \frac{y}{m} sa my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Idagdag ang 3-\frac{1}{m} sa -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

I-subtract ang 2-\frac{1}{m}-3m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

I-substitute ang \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} para sa y sa x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Idagdag ang 3-\frac{1}{m} sa \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Para gawing magkatumbas ang mx at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Pasimplehin.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

I-subtract ang mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 mula sa mx-y+1-3m=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Idagdag ang mx sa -mx. Naka-cancel out ang term na mx at -mx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Idagdag ang -y sa -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Idagdag ang -3m+1 sa m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

I-subtract ang -2m+1+3m^{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

I-substitute ang -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} para sa y sa x+my-3m-1=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

I-multiply ang m times -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Idagdag ang -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} sa -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Idagdag ang \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$