Lutasin ang {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Idagdag ang ny sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-substitute ang \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} para sa x sa kabilang equation na x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Idagdag ang \frac{ny}{m} sa y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

I-subtract ang m+\frac{n^{2}}{m} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

I-substitute ang m-n para sa y sa x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-multiply ang \frac{n}{m} times m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Idagdag ang m+\frac{n^{2}}{m} sa \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Nalutas na ang system.

$$x=m+n,y=m-n$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Para gawing magkatumbas ang mx at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Pasimplehin.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

I-subtract ang mx+my=2m^{2} mula sa mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang mx sa -mx. Naka-cancel out ang term na mx at -mx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang -ny sa -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang m^{2}+n^{2} sa -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -m-n.

$$y=m-n$$

I-substitute ang m-n para sa y sa x+y=2m. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+m-n=2m$$

I-subtract ang m-n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=m+n$$

Nalutas na ang system.

$$x=m+n,y=m-n$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Idagdag ang ny sa magkabilang dulo ng equation.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-substitute ang \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} para sa x sa kabilang equation na x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Idagdag ang \frac{ny}{m} sa y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

I-subtract ang m+\frac{n^{2}}{m} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

I-substitute ang m-n para sa y sa x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

I-multiply ang \frac{n}{m} times m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Idagdag ang m+\frac{n^{2}}{m} sa \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Nalutas na ang system.

$$x=m+n,y=m-n$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Para gawing magkatumbas ang mx at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Pasimplehin.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

I-subtract ang mx+my=2m^{2} mula sa mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang mx sa -mx. Naka-cancel out ang term na mx at -mx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang -ny sa -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Idagdag ang m^{2}+n^{2} sa -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -m-n.

$$y=m-n$$

I-substitute ang m-n para sa y sa x+y=2m. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+m-n=2m$$

I-subtract ang m-n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=m+n$$

Nalutas na ang system.

$$x=m+n,y=m-n$$