Lutasin ang {l}{k+ym=mg+x}{y=mx-ma}

$$\left. \begin{array} { l } { k + y m = m g + x } \\ { y = m x - m a } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&|m|\neq 1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$k+ym-x=mg$$

I-subtract ang k mula sa magkabilang dulo.

$$ym-x=mg-k$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang mx mula sa magkabilang dulo.

$$y-mx=-ma$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$my-x=gm-k$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$my=x+gm-k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m.

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times x+mg-k.

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

I-substitute ang \frac{x-k+mg}{m} para sa y sa kabilang equation na y+\left(-m\right)x=-am.

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

Idagdag ang \frac{x}{m} sa -mx.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

I-subtract ang g-\frac{k}{m} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -m+\frac{1}{m}.

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

I-substitute ang \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}} para sa x sa y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

I-multiply ang \frac{1}{m} times \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}.

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

Idagdag ang g-\frac{k}{m} sa \frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$k+ym-x=mg$$

I-subtract ang k mula sa magkabilang dulo.

$$ym-x=mg-k$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang mx mula sa magkabilang dulo.

$$y-mx=-ma$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$k+ym-x=mg$$

I-subtract ang k mula sa magkabilang dulo.

$$ym-x=mg-k$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang mx mula sa magkabilang dulo.

$$y-mx=-ma$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Para gawing magkatumbas ang my at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang m.

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

Pasimplehin.

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

I-subtract ang my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} mula sa my-x=gm-k sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Idagdag ang my sa -my. Naka-cancel out ang term na my at -my ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Idagdag ang -x sa m^{2}x.

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

Idagdag ang mg-k sa am^{2}.

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1+m^{2}.

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

I-substitute ang \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1} para sa x sa y+\left(-m\right)x=-am. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

I-multiply ang -m times \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}.

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

Idagdag ang \frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$