Lutasin ang {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$fx-y=7$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$fx=y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{f} times y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

I-substitute ang \frac{7+y}{f} para sa x sa kabilang equation na -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

I-multiply ang -9 times \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Idagdag ang -\frac{9y}{f} sa fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Idagdag ang \frac{63}{f} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

I-substitute ang \frac{63+8f}{f^{2}-9} para sa y sa x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

I-multiply ang \frac{1}{f} times \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Idagdag ang \frac{7}{f} sa \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Para gawing magkatumbas ang fx at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Pasimplehin.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

I-subtract ang \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f mula sa \left(-9f\right)x+9y=-63 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang -9fx sa 9fx. Naka-cancel out ang term na -9fx at 9fx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang 9y sa -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang -63 sa -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

I-substitute ang -\frac{63+8f}{9-f^{2}} para sa y sa -9x+fy=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

I-multiply ang f times -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Idagdag ang \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$fx-y=7$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$fx=y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{f} times y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

I-substitute ang \frac{7+y}{f} para sa x sa kabilang equation na -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

I-multiply ang -9 times \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Idagdag ang -\frac{9y}{f} sa fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Idagdag ang \frac{63}{f} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

I-substitute ang \frac{63+8f}{f^{2}-9} para sa y sa x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

I-multiply ang \frac{1}{f} times \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Idagdag ang \frac{7}{f} sa \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$fx-y=7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$fy-9x=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Para gawing magkatumbas ang fx at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Pasimplehin.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

I-subtract ang \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f mula sa \left(-9f\right)x+9y=-63 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang -9fx sa 9fx. Naka-cancel out ang term na -9fx at 9fx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang 9y sa -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Idagdag ang -63 sa -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

I-substitute ang -\frac{63+8f}{9-f^{2}} para sa y sa -9x+fy=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

I-multiply ang f times -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Idagdag ang \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$