Lutasin ang {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$cx+y=69$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$cx=-y+69$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{c} times -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

I-substitute ang \frac{69-y}{c} para sa x sa kabilang equation na 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

I-multiply ang 2 times \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Idagdag ang -\frac{2y}{c} sa y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

I-subtract ang \frac{138}{c} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

I-substitute ang \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} para sa y sa x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

I-multiply ang -\frac{1}{c} times \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Idagdag ang \frac{69}{c} sa -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

I-subtract ang 2x+y=87 mula sa cx+y=69 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$cx-2x=69-87$$

Idagdag ang cx sa -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Idagdag ang 69 sa -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

I-substitute ang -\frac{18}{c-2} para sa x sa 2x+y=87. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

I-multiply ang 2 times -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Idagdag ang \frac{36}{c-2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$