Lutasin ang {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$12bx-15y=-4$$

Idagdag ang 15y sa magkabilang dulo ng equation.

$$12bx=15y-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{12b} times 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

I-substitute ang \frac{-4+15y}{12b} para sa x sa kabilang equation na 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

I-multiply ang 16 times \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Idagdag ang \frac{20y}{b} sa 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Idagdag ang \frac{16}{3b} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

I-substitute ang \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} para sa y sa x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

I-multiply ang \frac{5}{4b} times \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3b} sa \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 12bx at 16x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 16 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Pasimplehin.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

I-subtract ang 192bx+120by=84b mula sa 192bx-240y=-64 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Idagdag ang 192bx sa -192bx. Naka-cancel out ang term na 192bx at -192bx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Idagdag ang -240y sa -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Idagdag ang -64 sa -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

I-substitute ang \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} para sa y sa 16x+10y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

I-multiply ang 10 times \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

I-subtract ang \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$