Lutasin ang {l}{a+b=7}{3a+2b=18}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 7 } \\ { 3 a + 2 b = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=4$$

$$b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$a+b=7,3a+2b=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$a+b=7$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=-b+7$$

I-substitute ang -b+7 para sa a sa kabilang equation na 3a+2b=18.

$$3\left(-b+7\right)+2b=18$$

I-multiply ang 3 times -b+7.

$$-3b+21+2b=18$$

Idagdag ang -3b sa 2b.

$$-b+21=18$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-b=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$b=3$$

I-substitute ang 3 para sa b sa a=-b+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-3+7$$

Idagdag ang 7 sa -3.

$$a=4$$

Nalutas na ang system.

$$a=4,b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$a+b=7,3a+2b=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 7+18\\3\times 7-18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=4,b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$a+b=7,3a+2b=18$$

Para gawing magkatumbas ang a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3a+3b=3\times 7,3a+2b=18$$

Pasimplehin.

$$3a+3b=21,3a+2b=18$$

I-subtract ang 3a+2b=18 mula sa 3a+3b=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3a-3a+3b-2b=21-18$$

Idagdag ang 3a sa -3a. Naka-cancel out ang term na 3a at -3a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3b-2b=21-18$$

Idagdag ang 3b sa -2b.

$$b=21-18$$

Idagdag ang 21 sa -18.

$$b=3$$

I-substitute ang 3 para sa b sa 3a+2b=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a+2\times 3=18$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$3a+6=18$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=4$$

Nalutas na ang system.

$$a=4,b=3$$